Cette partie est organisée autour de quatre objectifs:
- Approfondir l'étude des séries de nombres réels ou complexes: sommation des relations de comparaison, comparaison à une intégrale; applications à l'étude du comportement asymptotique des restes d'une série convergente, des sommes partielles d'une série divergente.
- Donner quelques notions sur les suites doubles sommables, en vue d'étudier des problèmes d'interversion de sommation.
- Étudier les propriétés élémentaires des séries entières et des séries de Fourier.
- Exploiter la représentation des fonctions par des séries entières ou des séries de Fourier pour l'étude de fonctions définies comme solutions d'une équation, en relation avec l'enseignement des autres disciplines scientifiques.
| 1- Séries, suites doubles sommables |
a) Sommation des relations de comparaison
Étant données deux suites (an) et (bn) de nombres réels positifs, sommation des relations de comparaison: domination bn=O (an), négligeabilité bn=o (an), équivalence bn ~ an (cas des séries convergentes, cas des séries divergentes).
Étant données une suite (un) de nombres complexes et une suite (an) de nombres réels positifs telle que åan converge, sommation des relations de domination un=O (an) et de négligeabilité un=o (an).
b) Comparaison d'une série à une intégrale
Comparaison d'une série de nombres réels positifs à une intégrale: étant donnée une fonction f continue par morceaux sur [0,+¥[ à valeurs réelles positives décroissante, la série de terme général
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La relation wn=òn-1n[f(t)-f(n)] dt permet d'encadrer wn; un encadrement analogue peut être obtenu lorsque f est croissante.
Comparaison d'une série de nombres complexes à une intégrale: étant donnée une fonction f de classe C1 sur [0,+¥[ à valeurs complexes, telle que f¢ soit intégrable sur [0,+¥[, la série de terme général
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Il convient de souligner l'intérêt de l'intégration par parties pour écrire wn sous la forme
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Équivalent de n! (formule de Stirling).
La démonstration de la formule de Stirling n'est pas exigible des étudiants.
c) Suites doubles sommables
Le programme introduit la notion d'ensemble dénombrable et de famille sommable de nombres réels ou complexes indexée par un tel ensemble I. Il s'agit d'une brève extension de la notion de suite sommable. L'étude systématique des ensembles dénombrables n'est pas un objectif du programme, et tout énoncé général sur les familles sommables (associativité par paquets¼) est hors programme.
Définition d'un ensemble I dénombrable: il existe une bijection d'une partie de N sur I. Si I est infini, alors il existe une bijection de N sur I.
Si P est une partie infinie de N, il existe une bijection strictement croissante et une seule de N sur P.
Un ensemble I est dénombrable si et seulement s'il existe une suite croissante (Jn) de parties finies de I dont la réunion est égale à I.
La démonstration de ce résultat n'est pas exigible des étudiants.
Extension de la définition des suites sommables au cas des familles (ui)i Î I de nombres réels positifs, puis de nombres réels ou complexes, indexées par un ensemble dénombrable I. Cas où I=Z, où I=N×N.
Comme dans le cas particulier où I=N, la démarche consiste à utiliser des suites croissantes (Jn) de parties finies de I dont la réunion est égale à I.
Interversion de sommations: une famille u=(up,q) de nombres réels positifs indexée par N×N est sommable si et seulement si, pour tout entier q, la série åpup,q est convergente, ainsi que la série åq(åpup,q).
Dans ces conditions,
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Extension de la formule d'interversion de sommations au cas d'une famille u=(up,q) de nombres réels ou complexes, lorsque u est sommable.
Pour établir la sommabilité de u, il convient de noter que la formule d'interversion peut être appliquée à la famille |u|=(|up,q|).
Somme d'une famille produit: si les suites (ap) et (bq) sont sommables, alors la famille (ap bq) l'est aussi.
Dans ces conditions,
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Définition du produit de Cauchy de deux séries åun et åvn de nombres complexes:
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Si les séries åun et åvn sont absolument convergentes, la série åwn l'est aussi.
Dans ces conditions,
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| 3- Séries entières |
L'objectif de ce chapitre est double:
- Étudier la convergence d'une série entière et les propriétés de sa somme, grâce au concept fondamental de rayon de convergence.
- Introduire la notion de développement d'une fonction en série de Taylor, notamment pour le développement en série entière des fonctions élémentaires.
En ce qui concerne le développement de t®etz où t est réel et z complexe, il s'agit d'établir que cette fonction, déjà étudiée en première année, est aussi égale à t®exptz, définie à partir de la série exponentielle d'un nombre complexe.
Les coefficients des séries entières considérées dans ce paragraphe sont réels ou complexes.
a) Rayon de convergence d'une série entière
Série entière åanzn d'une variable complexe z associée à une suite (an) de nombres complexes: définition du rayon de convergence R (fini ou non).
Étant donné un nombre réel r > 0 tel que |an|rn soit borné, alors pour tout nombre complexe z tel que |z| < r, |anzn| est dominé par ([(|z|)/(r)])n.
La série est absolument convergente sur le disque (ouvert) de convergence. Elle est normalement convergente sur tout compact du disque de convergence; continuité de la somme sur le disque de convergence.
En dehors du cas où å|an|Rn converge, tout énoncé général sur la convergence de la série en un point du cercle |z|=R et sur les propriétés de la somme de la série en un tel point est hors programme.
Rayon de convergence de la somme et du produit de Cauchy de deux séries entières. Linéarité de la somme, somme du produit de Cauchy.
Relation
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b) Séries entières d'une variable réelle
Étant donnée une série entière åantn d'une variable réelle t dont le rayon de convergence R est strictement positif, une primitive sur l'intervalle ]-R,R[ de la somme f de cette série s'obtient en intégrant terme à terme.
Invariance du rayon de convergence d'une série entière par intégration terme à terme, par dérivation terme à terme.
La somme f d'une série entière åantn dont le rayon de convergence R est strictement positif est une fonction de classe C¥ sur ]-R,R[. En outre, pour tout k ³ 1, Dkf s'obtient par dérivation terme à terme.
En particulier, pour tout entier k positif ou nul,
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Définition d'une fonction développable en série entière sur un intervalle ]-r,r[, où r > 0.
Définition de la série de Taylor d'une fonction f de classe C¥ sur un intervalle ]-r,r[, où r > 0.
Développement en série de Taylor de etz où z est complexe, de sint, de cost. Développement de ln(1+t), de (1+t)a où a est réel.
| 4- Séries de Fourier |
L'objectif de ce chapitre est triple:
- Étudier les coefficients de Fourier d'une fonction f périodique, et notamment leur comportement asymptotique en fonction de la régularité de f.
- Étudier la convergence en moyenne quadratique des sommes partielles Sp(f) de la série de Fourier de f en utilisant la structure d'espace préhilbertien.
- Étudier la convergence ponctuelle des sommes Sp(f): convergence normale, théorème de Dirichlet.
Il convient d'exploiter l'interprétation en termes d'analyse harmonique des signaux périodiques.
Dans ce chapitre, les fonctions considérées sont à valeurs complexes, 2p-périodiques et continues par morceaux sur R. Le cas des fonctions T-périodiques s'y ramène par changement de variable.
a) Coefficients de Fourier
Espace vectoriel des fonctions à valeurs complexes 2p-périodiques continues par morceaux sur R.
Définition d'une fonction 2p-périodique continue par morceaux f à partir d'une fonction g continue par morceaux sur un segment de longueur 2p.
Intégrale sur une période d'une fonction f à valeurs complexes 2p-périodique continue par morceaux sur R.
Définition des coefficients de Fourier d'une telle fonction:
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Expression des coefficients de Fourier sous forme de cosinus et de sinus.
Coefficients de Fourier de [`f]; cas d'une fonction à valeurs réelles. Coefficients de Fourier de t® f(-t); cas d'une fonction paire, d'une fonction impaire. Effet d'une translation: coefficients de Fourier de t® f(t+a).
Pour tout entier naturel p, définition de la somme partielle:
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Lorsque qu'en un point x de R les sommes partielles Sp(f) convergent, la série de Fourier est dite convergente au point x et la somme de la série de Fourier est, par définition, la limite des sommes Sp(f)(x).
L'application F qui à f associe [^f] est linéaire. La suite [^f] est bornée et ||[^f]||¥ £ ||f||1.
Par définition ||f||1=[1/(2p)] ò-pp|f(t)| dt.
En outre, cn(f) tend vers 0 au voisinage de l'infini.
Coefficients de Fourier d'une dérivée: si f est 2p-périodique continue sur R et de classe C1 par morceaux sur R, alors
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Extension au cas où f est de classe Ck-1 sur R et de classe Ck par morceaux sur R.
Si f est 2p-périodique de classe Ck-1 sur R et de classe Ck par morceaux sur R, alors cn(f) est négligeable devant |n|-k au voisinage de l'infini.
b) Convergence en moyenne quadratique.
Dans ce paragraphe, on considère des fonctions 2p-périodiques continues sur R. Il convient d'effectuer une brève extension au cas des fonctions continues par morceaux; les démonstrations concernant cette extension ne sont pas exigibles des étudiants.
Produit scalaire (f,g)®(f|g)=[1/(2p)]ò-pp[`f](t) g(t) dt sur l'espace vectoriel C2p des fonctions 2p-périodiques continues sur R; norme associée f®||f||2.
Les fonctions t® en(t)=e\hii nt, où n parcourt Z, forment une famille orthonormale et, pour tout n, cn(f)=(en|f).
La projection orthogonale d'un élément f de C2p sur le sous-espace vectoriel Pp engendré par les en, où |n| £ p, est la somme partielle Sp(f).
Relation
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En particulier, l'application qui à tout élément P de Pp associe ||f-P||2 atteint son minimum en un point et un seul, à savoir Sp(f).
Inégalité de Bessel:
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La famille (cn(f)), où n parcourt Z, est de carré sommable.
Convergence en moyenne quadratique: pour tout élément f de C2p, les sommes partielles Sp(f) convergent en moyenne quadratique vers f.
L'application linéaire f®[^f] de C2p dans l2(Z) conserve le produit scalaire; elle est donc injective.
Formule de Parseval: expressions du carré de la norme et du produit scalaire à l'aide des coefficients de Fourier.
c) Convergence ponctuelle
Convergence normale: lorsque f est 2p-périodique continue sur R\ et de classe C1 par morceaux sur R, la famille (cn(f)), où n parcourt Z, est sommable. Dans ces conditions, les sommes partielles Sp(f) de la série de Fourier de f convergent uniformément vers f sur R.
En particulier, pour tout nombre réel x, la série de Fourier de f converge en ce point, et sa somme est égale à f(x).
Théorème de Dirichlet: soit f une fonction 2p-périodique de classe C1 par morceaux sur R, alors pour tout nombre réel x, la série de Fourier de f converge en ce point et sa somme est égale à 1/2limh[f(x+h)+f(x-h)] où h tend vers 0, h > 0. En particulier, en tout point x où f est continue, la somme de la série de Fourier de f est égale à f(x).
La démonstration du théorème de Dirichlet n'est pas exigible des étudiants.
| Travaux pratiques |
§ Pour une série de nombres réels positifs, exemples d'encadrement du reste d'une série convergente, des sommes partielles d'une série divergente; exemples de recherche de valeurs approchées de la somme d'une série convergente.
Exemples d'étude du comportement asymptotique des restes d'une série convergente, des sommes partielles d'une série divergente.
Il convient notamment d'exploiter la comparaison d'une série à une intégrale.
§ Exemples de recherche et d'emploi de développements en série entière ou en série de Fourier de fonctions d'une variable réelle; exemples d'utilisation de tels développements pour l'approximation d'une fonction.
Il convient de mettre en valeur l'emploi de séries entières et de séries de Fourier pour la recherche et l'étude de solutions d'équations différentielles.